Quelques réflexions sur le marquage unitaire, la transmission, le comptage et le décompte de ces marquages, et leurs différentes modalités. (révision août 2005)

Un ruban bidimensionnel
Supposons donné un espace bidimensionnel, formalisé par un ruban transparent d’épaisseur nulle, de largeur unitaire (définissant une unité spatiale quelconque) et de longueur aussi grande que l’on veut, modélisée par une succession de cases unitaires.
Supposons donné un temps, c’est à dire une succession continue d’instants, se traduisant par le déroulement du ruban transparent devant un mécanisme marqueur. Le ruban progresse d’une case à chaque instant. Le marqueur est supposé de la surface de la case unitaire, c’est à dire de largeur unitaire, et de longueur celle d’un instant. Supposons aussi, et de façon arbitraire, que le mécanisme (jet d’encre, perforation…) par lequel le marqueur opère pour marquer les cases est d’épaisseur nulle.
Par convention, le ruban se déroule du passé vers l’avenir, l’instant présent étant signifié par la case située entre les pinces du marqueur. Le marqueur ne « connaît » que la case située entre ses pinces, et, par manque « d’épaisseur, de recul », il ignore comment elles défilent devant lui. A la limite, il ne voit même pas qu’elles défilent, et peut « penser » que c’est toujours la même case qu’il a entre ses pinces… Pour lui, la question du sens de déroulement du temps n’a pas de sens.
Mais, nous, humains qui avons du « recul », nous voyons que le ruban défile. Supposons, pour nous orienter, que le temps écoulé est à gauche du marqueur (c’est donc le passé) et que le temps à venir est à sa droite. Cette convention revient d’ailleurs à remplacer une dimension d’espace par une dimension de temps : nous raisonnons dorénavant dans un espace-temps bidimensionnel (une dimension d’espace, une dimension de temps). 

Un marqueur
Ces conventions étant acceptées, occupons-nous d’abord du marqueur. Donnons-lui la mission de marquer sur le ruban transparent l’occurrence d’un événement quelconque, par exemple la chute d’une goutte d’eau. Si une goutte d’eau tombe à un instant donné , le marqueur marque la case unitaire qui passe à ce moment-là entre ses pinces. Remarquons que l’endroit (spatial) où tombe la goutte d’eau n’est pas important en tant que tel, ce peut être « quelque part » ou « n’importe où », du moment que le marqueur en a instantanément connaissance. Mais comme cette connaissance instantanée supposerait une communication entre un émetteur et le marqueur qui en recevrait alors le message, et que notre propos se limite pour l’instant à définir les conditions d’un marquage, nous supposerons de façon quelque peu réductrice mais a priori sans incidence pour notre propos, que la goutte d’eau doit tomber « sur » la case unitaire située entre ses pinces pour que le marqueur marque la case. L’événement déclencheur du marquage est donc cerné spatialement et temporellement.
Comment le marqueur marque-t-il la case ? Notre question ne porte pas tellement sur « le type d’action » qu’il va entreprendre (coloration, perforation…) mais sur la nature de l’action qu’il pourrait avoir à sa disposition. Pour rester homogène avec notre hypothèse que le marqueur ne discerne pas le sens de défilement du temps, il nous faut le doter d’une action du genre dual, par exemple perforation et déperforation de la case, ou bien coloration et décoloration. Ainsi, une case transparente recevant une goutte deviendrait par exemple noire ; mais si « d’aventure » la case était déjà noire, le marqueur lui « rendrait » son état initial transparent. Autrement dit , nous devons supposer que le marquage est réversible et non destructif. Nous allons supposer pour la suite que le marquage se traduit par une action de coloration/décoloration.

Un lecteur
Supposons maintenant l’existence d’un lecteur, à même de « lire » le ruban marqué, c’est à dire de différencier la coloration des cases. Quelles sont les conditions sous lesquelles un lecteur donné lirait la même chose qu’un autre lecteur voisin qui aurait aussi à lire le même ruban ? Autrement dit, quels sont les accords préalables que ces deux lecteurs doivent avoir passés entre eux afin de restituer la même lecture du ruban ?
	a) Tout d’abord il faut que l’un et l’autre des deux lecteurs fassent défiler le ruban devant eux de façon identique. Notons que cela ne veut pas dire que ce défilement soit nécessairement uniforme : il peut être alterné, mais dans ce cas des accords d’alternance doivent avoir été établis entre les deux lecteurs, qui seraient nécessairement plus « compliqués » que le seul « choix » d’un sens uniforme de défilement (par exemple droite-gauche, ou plutôt le avant-après). Remarquons au passage que, pour pouvoir discerner ce sens de défilement et « vérifier » qu’il correspond à l’accord passé entre eux deux, chaque lecteur doit être doté « par construction » d’une dimension spatio-temporelle de plus que le marqueur défini plus haut, puisqu’il doit pouvoir « voir » au moins deux cases simultanément afin de constater leur ordre de succession. Spatialement, cette dimension supplémentaire leur donne ainsi la capacité de distinguer la droite de la gauche. Temporellement, elle leur donne la capacité de distinguer l’avant de l’après. Ainsi, si l’on peut limiter à deux les dimensions spatio-temporelles du marqueur (comme nous l’avons fait plus haut), nous voyons que le lecteur est nécessairement doté de trois dimensions spatio-temporelles.
	b) Ensuite, il faut qu’ils lisent de la même manière la coloration des cases. C’est à dire qu’ils soient d’accord sur ce qu’ils appellent une case noire.
	c) Enfin, il faut qu’ils attribuent à la case noire la même signification, à savoir qu’elle repère le fait qu’une goutte d’eau est tombée dessus (et non que la case soit restée sèche).

Plusieurs rubans, plusieurs marqueurs, et un lecteur « multi-rubans »
Elargissons maintenant les conventions passées ci-dessus : établissons non plus un mais N marqueurs jointifs les uns aux autres, chacun continuant à marquer « son » ruban d’une coloration noire dès qu’une goutte d’eau est tombée sur la case défilant entre ses pinces. C’est donc N rubans, jointifs dans leur dimension spatiale, et préalablement marqués par une batterie de N marqueurs, qu’un lecteur de rubans (au pluriel) va désormais voir défiler simultanément devant lui. Au lieu de «une case noire» ou (exclusif) «une case non noire », ce lecteur va devoir lire les quantités q1, q2, q3… de cases noires qui défilent successivement devant lui. Comment peut-il formaliser cette lecture? Deux choix me semblent formellement possibles :
a)	soit par l’intermédiaire d’une suite discontinue de doublets {Ti, qi}, traduisant qu’à l’instant Ti le lecteur a décelé, parmi les N cases lues, qi cases noires (qi non « nul »).
b)	Soit par une suite continue de singulets qi, traduisant qu’à chaque instant jointif Ti (repéré par l’indice i) le marqueur a décelé qi cases noires.
Dans le premier cas, les instants Ti sont successifs (donc ordonnés temporellement, avec Ti+1>Ti) mais non nécessairement jointifs : il peut exister des instants pour lesquels le lecteur n’a décelé aucune case noire, et n’a donc pas « transcrit » de doublet. Simultanément, qi n’est jamais nul. Par exemple le lecteur peut créer une suite de doublets comme (1,5), (13,2), (15,1), (18,3), (21,1),…
Dans le second cas, les instants Ti auxquels les indices i font référence, seraient par nécessité jointifs. Chacun d’eux donnerait « naissance » à un singulet qi, quitte à ce que ce singulet signifie « aucun ». On remarque de suite que cette suite de singulets devrait être extrinsèquement ordonnée, sinon elle perdrait toute signification. Cette seconde notation me semble donc en quelque sorte illusoire, et n’est en définitive qu’un mauvais succédané de la première. 
Je préfère donc me cantonner à cette « première » notation, se traduisant par une suite discontinue et ordonnée de doublets . 

Nous remarquons tout d’abord que cette notation présuppose elle aussi que le lecteur de rubans soit doté d’une « notion » d’ordre : il doit en effet, pour chaque doublet émis, transcrire d’abord l’instant Ti puis ensuite le nombre de cases noires lues qi. De plus, il doit pouvoir vérifier que les instants Ti sont en ordre croissant.
Mais l’on a vu avec les travaux de XS que la notion d’ordre vient avec l’orientation du temps et la distinction devenue possible entre le temps occurrent et le temps récurrent. Est-ce à dire que la communication (marquage, lecture, transcription…) ne prend naissance que dans la cosmosphère, et est une notion vide de signification au sein de la protosphère ? La corrélation des particules que les physiciens ont découverte dans la cosmophère résulterait donc de tout à fait « autre chose » que d’une communication instantanée entre ces particules…

Je voudrais aussi revenir sur le zéro et le zéroième (note 14 ci-avant), notations cherchant à signifier le vide, l’absence, le rien…. Cela fait quelque temps que l’unicité de la notation 0 (signifiant à la fois zéro cardinal et zéroième ordinal, voire même le « vide » spatial) me tarabuste, et plus généralement le fait que le numéro (ordinal) et le nombre (cardinal) aient tous deux la même transcription verbale et scripturale. Et je n’ai pas connaissance de civilisation où la distinction ait été faite. Or une telle distinction serait importante pour la clarification des raisonnements, puisque les opérations de l’arithmétique (addition, multiplication, exponentiation…) ne s’appliquent qu’au nombre (cardinal)… 
Pourquoi cette réflexion ? Eh bien tout simplement pour dire que si, dans le paragraphe ci-dessus, j’en suis arrivé à émettre l’idée que le numéro (et la relation d’ordre) n’apparaît que dans la cosmosphère, j’en viendrais maintenant à supputer que le nombre cardinal ne prend sens que dans la noosphère. Autrement dit, dans la cosmosphère et la biosphère, la notion de quantité resterait floue. Si je m’inspire des travaux de XS, je dirais que dans la cosmosphère n’existeraient que les notions de présence et d’absence (et autres couples similaires) ; que dans la biosphère on peut penser que la notion de présence s’enrichit par la distinction entre unicité, dualité et pluralité, mais que le décompte quantitatif de la pluralité (plus que deux) n’y est pas possible ; et que dans la noosphère seulement s’introduit (avec la notion de trinité ?) le décompte de la pluralité, tant dans sa version affine (quantitative) que vectorielle (dimensionnelle).

Ceci dit, rien n’empêche que l’humain invente, dans le monte virtuel, la notion de zéroième, signifié sans signifiant. Ainsi, le zéroième d’une suite ordinale pourrait permettre de repérer le point de départ d’un décompte : pour prendre une image, il repère la position où je suis avant de faire le premier pas. En ce sens, le signifié qu’est le zéroième n’appartient pas en lui-même à la suite ordinale des numéros, pas plus que ma position de départ n’appartient à la suite des pas que j’effectue. Néanmoins, elle lui est attachée, de façon extrinsèque, pourrait-on dire.
Une autre réflexion m’est venue. Quoi fait la différence entre un numéro (ordinal) et un nombre (cardinal) ? Si je prends l’exemple des kilomètres que j’ai parcourus en voiture cet été, je remarque :
a)	que les ai parcourus un par un, successivement, en suite ordonnée.
b)	Que le compteur de ma voiture les a enregistrés de la même manière, successivement.
c)	Mais qu’à la fin de mes vacances le compteur m’a indiqué que j’avais parcouru 2768 kms. Et cela est une quantité, c’est à dire un nombre. 
Est-ce le compteur qui est passé d’une numérotation ordinale à l’indication d’une quantité cardinale ? Ou est-ce moi, lecteur ? Regardons un enfant qui compte ses billes. Il les compte une à une, en les faisant passer par exemple de sa gauche à sa droite, et quand il a le numéro d’ordre de la dernière, il transforme ce numéro d’ordre, par convention (naturelle ? culturelle ?), en nombre, pour affirmer : j’ai N billes puisque la dernière que j’ai fait passer de ma gauche à ma droite avait le numéro d’ordre N. Si j’analyse l’opération menée par l’enfant, je repère les étapes suivantes :
a)	Regroupement des billes suivant leur caractéristique commune d’être une bille.
b)	Ordonnancement de ces billes, afin de les numéroter en leur faisant passer une à une le portillon d’entrée vers sa droite ou dans un lieu (sac de rangement) où à l’origine il y avait aucune bille.
c)	Substitution d’un nombre cardinal au numéro de la dernière bille entrée.
Puis-je en déduire que pour savoir compter, il faut savoir préalablement :
a)	regrouper suivant une caractéristique commune, c’est à dire repérer la similitude et la différence (suivant un critère quelconque)
b)	avoir une notion du vide, du aucun.
c)	Savoir se repérer suivant au moins trois dimensions de l’espace-temps (avant-après ; gauche-droite ou dehors/dedans, et enfin le surplomb qui permet l’ajout d’une dimension spatiale, nécessaire pour « transformer » un décompte ordinal en un nombre cardinal).
Je note aussi que l’enfant pourrait décider de numéroter non plus des billes individuelles, mais de petits paquets de deux, trois billes. Il a compris qu’en faisant ainsi, il gagne du temps, mais en contrepartie il devra effectuer une opération de « rétablissement » pour associer au numéro de son dernier décompte, le nombre cardinal effectif des billes (via une multiplication de 2 ou 3). Cette faculté n’est pas disponible dans la biosphère, nous dit XS, qui ne peut donc décompter qu’un élément à la fois, faire passer le portillon que un par un…

Deux lecteurs.
Sautons un nouveau pas. Jusqu’à présent nous avons mis en jeu un puis des marqueurs de ruban et un lecteur de rubans. Supposons maintenant la présence d’un second lecteur, avec lequel le lecteur de rubans veut « communiquer », c’est à dire échanger des « informations » sur les rubans qu’il a lus. Nous allons de ce fait sortir totalement du domaine réel, pour entrer totalement dans le domaine virtuel : ce second lecteur, que nous appellerons lecteur-récepteur, va lire des « signifiés » envoyés par le lecteur de rubans, qui à cette occasion deviendra un lecteur-émetteur. Ce ne sont plus des « signifiants » que le lecteur-récepteur va lire (ensembles successifs de cases transparentes ou noires), mais des signifiés (codifications quelconques établies par le lecteur de rubans devenu lecteur-émetteur). Quels peuvent être ces signifiés, véritables succédanés des rubans, et quelles sont les conditions qu’ils doivent respecter pour que le lecteur-récepteur se constitue par leur intermédiaire une image « fidèle » des rubans ?

Notons tout d’abord que ces succédanés peuvent être composés d’objets réels. Par exemple de petits coquillages appelés cauris, ou des entailles sur une baguette de bois, ou des marques sur une tablette de cire…
Mais il me semble qu’en dehors de lecteurs (émetteur ou récepteur) appartenant à la noosphère, chaque cauris, chaque entaille, indépendamment de sa forme ou de sa taille, ne peut signifier qu’une unité, un élément. Le regroupement par le lecteur-émetteur de cauris par paquets (par exemple par dix) sur un fil, formant ainsi des colliers que le lecteur-récepteur, supposé d’accord avec cette convention, pourrait d’abord dénombrer afin de se faciliter la tâche, ne me paraît « possible » qu’au sein de la noosphère où les lecteurs peuvent disposer des « moyens » d’établir une telle convention. Que conclure de ces quelques réflexions ?

a)	tout d’abord que le vocable « virtuel » ne dit rien sur la nature tangible ou non du succédané de la case noire. Le cauris est un objet réel, de même que la baguette de bois entaillée. Le mot « virtuel », pour moi, signifie seulement que le lecteur ne lit plus directement le ruban marqué par le marqueur, mais un succédané.
b)	ensuite, que les conventions de communication sont à établir entre le premier lecteur (qualifié d’émetteur) qui lit le ruban marqué, et les lecteurs suivants (qualifiés de récepteurs) qui vont recevoir à « lire » non plus le ruban lui-même, mais un succédané. Autrement dit, les conventions éventuelles de mise « en paquet », c’est à dire les conventions de numération, sont entièrement dans le domaine du « virtuel », et n’ont aucune signification dans le domaine du réel( celui du ruban marqué) : quelle que soit la « logique » sur laquelle se fonde un système de numération, une quantité donnée reste toujours la même, sous les différents systèmes de transcription qu’on peut lui affecter. C’est évident, mais cela va mieux en le disant.
c)	donc, si la Nature « communique », de deux choses l’une : soit les lecteurs successifs lisent le même ruban, et restent donc l’un et l’autre dans le domaine « réel ». Alors on ne peut parler de nécessité de convention de communication entre eux. Soit il y a un lecteur-émetteur « produisant » un succédané du ruban, et alors il est nécessaire que l’ensemble des lecteurs-récepteurs aient passé avec lui des conventions de communication identiques. J’avoue ne pas « savoir » laquelle de ces deux possibilités est à reprendre dans les mondes de la protosphère, de la cosmosphère et de la biosphère. Je vous laisse le soin d’y réfléchir.

Plaçons-nous maintenant de façon délibérée dans le domaine du virtuel, et réfléchissons aux possibilités de « fabrication » d’un succédané qui s’ouvrent à l’émetteur pour transcrire les couples (Ti,qi) qu’il a « retirés » par sa lecture du défilement des N rubans passés à ses pieds, et sous quelles conditions le récepteur, qui ne voit plus les N rubans défiler sous ses pieds, pourra néanmoins être informé de cette succession de couples (Ti,qi), et ce sans ambiguïté.
Les conventions (passées plus haut) entre le marqueur et le lecteur-émetteur étant maintenues, nous supposerons que ce dernier associe, dans le domaine virtuel, le digit I à la case noire, et le digit Ø à la case restée transparente. Supposons de plus (en empruntant cette codification aux Romains), que par paresse ou souci de simplification (au prix de conventions complémentaires passées avec les lecteurs-récepteurs), le lecteur-émetteur code V l’équivalent de IIIII (cinq digits I successifs), code X l’équivalent de VV (deux codes V successifs), code L l’équivalent de XXXXX (cinq codes X successifs), et ainsi de suite. On voit sans peine que le lecteur-émetteur pourrait, en augmentant éventuellement le nombre de conventions de ce type, transcrire n’importe quelle quantité de cases noircies par le marqueur. Notons aussi que lorsque j’ai employé ci-dessus l’adjectif « successifs », cela n’est pas synonyme de « jointifs » : l’ordre dans lequel les N rubans sont ordonnés l’un à côté de l’autre est indifférent, et peu importe pour l’instant la distribution des cases noircies parmi les N que lit le lecteur-émetteur à un instant donné. Notons aussi que le fait que l’association décidée plus haut du digit Ø à la case restée transparente ne nous est pour l’instant d’aucune utilité.
Ces conventions « règlent », à mes yeux du moins, la transcription des quantités qi.

Franchissons encore un pas. Jusqu’à présent nous avons pris l’hypothèse que l’ordonnancement spatial des N marqueurs initiaux ne portait en lui-même aucune signification. Et donc que lecteur-émetteur qui les lisait, n’en attribuait non plus aucune à l’ordre dans lequel ces rubans étaient établis à ses pieds.
Nous avons aussi relevé que lecteur-émetteur de N rubans devait être doté de trois dimensions spatio-temporelles. Or ce lecteur-émetteur peut utiliser cette faculté pour « distinguer » l’ordre dans lequel les rubans défilent à ses pieds. Le schéma ci-après, pris dans une coupe temporelle, essaie d’expliciter cela :

										
α1	α2	α3	α4	α5	α6	α7	α8	α9	α10	

Le lecteur-émetteur « voit » chaque ruban (i) sous un angle αi qui est spécifique de son positionnement, ces angles αi étant d’autant plus petits que le ruban concerné est plus éloigné de son pied. Supposons que « l’oeil » du lecteur surplombe d’une hauteur h le plan sur lequel défilent les rubans. 
L’angle α1 se définit par la fonction arc tangente, puisque tan(α1) = 1/h, chaque ruban ayant une largeur unitaire.
De même tan(α1 + α2) = 2/h, 
tan(α1 + α2 + α3) = 3/h, et ainsi de suite.
On en tire que αi+1 = arctan{(i+1)/h} – arctan{i/h}.
On connaît (ou on trouve sur Internet) la formule du développement en série de la fonction « arc tangente », qui est :
Arctan(x) = x –x3/3 + x5/5 – x7/7….	

Pour que ces développements en série convergent, il faut que h > 1.

Que tirer de cette approche ?
Le graphique ci-dessus montre que la suite de angles αi est ordonnée et décroissante. 
La différence αi - αi+1 s’écrit, d’après les formules ci-dessus :
αi - αi+1 = arctan(i/h) – arctan{(i+1)/h} – arctan{i-1)/h} ou
αi - αi+1 = Σ∞n=1 (-1)n*{2i2n+1 - (i+1)2n+1 – (i-1)2n+1}/(2n+1)*h2n+1,
la sommation de n se faisant de 1 à l’infini.
Le premier terme (n=1) se réduit, en faisant les développements polynômiaux, à 2i/h3.
Le second (n+2) se réduit à - 2i/h5*(2i2 + 1).
Le troisième se réduit, sauf erreur de calcul, à 2i/h7*(3i4 + 5i2 + 1), et le quatrième se complique en :
- 2i/3h9*(12i6 + 42i4 + 28i2 + 3).
Le cinquième serait : 2i2/h11*(5i8 + 30i6 + 42i4 + 15i2 + 1).
Un manipulateur expérimenté du triangle de Pascal devrait pouvoir généraliser la formule de ces termes successifs.

Que conclure de ces développements, en se souvenant que le premier ruban est vu sous l’angle α1, le second sous l’angle α2, le troisième sous l’angle α3, et ainsi de suite. Pourrions-nous « pondérer » de chaque angle ainsi défini dans une suite ordonnée décroissante, les digits I ou Ø traduisant l’état de la case correspondante ? En considérant la suite αi de ces angles comme une onde porteuse caractéristique du lecteur-émetteur par l’intermédiaire de la hauteur h de son « point de vue », chaque case défilant devant le lecteur-émetteur serait caractérisée par un « son » spécifique qu’un lecteur-récepteur pourrait « entendre » (lire) de façon univoque.